ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত উচ্চতর গণিত – ২য় পত্র | - | NCTB BOOK

803

ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন (Forming a Cubic Equation)

ত্রিঘাত সমীকরণ বলতে এমন একটি সমীকরণকে বোঝায় যার সর্বোচ্চ ঘাত $3$ এবং এটি সাধারণত তিনটি মূল (roots) নিয়ে গঠিত। ত্রিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

যেখানে $a \neq 0$ , এবং $b$ , $c$ , ও $d$ ধ্রুবক। যদি ত্রিঘাত সমীকরণের মূল বা রুটগুলো $\alpha$ , $\beta$ , এবং $\gamma$ হয়, তবে সমীকরণটি নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে গঠন করা যায়।

মূল ধারণা

যদি ত্রিঘাত সমীকরণের মূল তিনটি হয় $\alpha$ , $\beta$ , এবং $\gamma$ , তবে ত্রিঘাত সমীকরণটি নিম্নরূপ হবে:

$x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma = 0$

এখানে,

$\alpha + \beta + \gamma$ মূলগুলোর সমষ্টি।
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha$ হল মূলগুলোর দ্বিগুণ গুণফল।
$\alpha \beta \gamma$ হল মূলগুলোর গুণফল।

উদাহরণ

ধরা যাক, তিনটি মূল দেওয়া আছে $\alpha = 2$ , $\beta = -3$ , এবং $\gamma = 4$ ।

এখন এই মূলগুলো দিয়ে ত্রিঘাত সমীকরণ তৈরি করা যাক।

১. মূলগুলোর সমষ্টি: $\alpha + \beta + \gamma = 2 + (-3) + 4 = 3$

২. দ্বিগুণ গুণফল: $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = (2 \times -3) + (-3 \times 4) + (4 \times 2) = -6 - 12 + 8 = -10$

৩. মূলগুলোর গুণফল: $\alpha \beta \gamma = 2 \times -3 \times 4 = -24$

তাহলে ত্রিঘাত সমীকরণটি হবে:

$x^3 - (3)x^2 - (10)x + 24 = 0$

অর্থাৎ, সমীকরণটি হলো:

$x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0$

সমীকরণ গঠনের জন্য অন্যান্য উদাহরণ

উদাহরণ ২

ধরা যাক, ত্রিঘাত সমীকরণের মূল তিনটি $\alpha = -1$ , $\beta = 2$ , এবং $\gamma = 3$ ।

১. মূলগুলোর সমষ্টি: $\alpha + \beta + \gamma = -1 + 2 + 3 = 4$

২. দ্বিগুণ গুণফল: $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = (-1 \times 2) + (2 \times 3) + (3 \times -1) = -2 + 6 - 3 = 1$

৩. মূলগুলোর গুণফল: $\alpha \beta \gamma = -1 \times 2 \times 3 = -6$

তাহলে ত্রিঘাত সমীকরণটি হবে:

$x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

এই পদ্ধতিতে যে কোনো তিনটি মূল ব্যবহার করে ত্রিঘাত সমীকরণ সহজেই গঠন করা যায়।

common.content_added_by

Sheikh Shakib Bin Shofiq

common.read_more

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন

ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন